MathLabs

第4题

证明不等式 ∑k=170kx−k≥54\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\ge\frac{5}{4} 的解集是若干互不相交区间的并，且这些区间的总长度为 19881988。
第 1/4 步：定义有理函数
上一步下一步
f(x)=∑k=170kx−kf(x)=\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}
详细分析

令 f(x)=∑k=170kx−kf(x)=\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}。在每个 (n,n+1)(n,n+1)（1≤n≤691\le n\le69）上，各项在有定义处都严格递减，所以 ff 严格递减。当 x→n+x\to n^+ 时，n/(x−n)n/(x-n) 趋于 +∞+\infty；当 x→(n+1)−x\to(n+1)^- 时，(n+1)/(x−n−1)(n+1)/(x-n-1) 趋于 −∞-\infty。由介值定理，存在唯一的 rn∈(n,n+1)r_n\in(n,n+1) 使 f(rn)=5/4f(r_n)=5/4。