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第5题

ABCABC 是在 AA 处直角的三角形,ADAD 是斜边上的高。连接 ABDABD 与 ACDACD 的内心,该直线分别与 AB,ACAB,AC 交于 K,LK,L。若 SS 和 TT 分别是 ABCABC 和 AKLAKL 的面积,证明 S≥2TS\ge2T。
第 3/4 步:计算两个面积
[ABC]=BC⋅AD2,[AKL]=AD22[ABC]=\frac{BC\cdot AD}{2},\qquad [AKL]=\frac{AD^2}{2}
详细分析

因为 K=K'、L=L',所以 [AKL]=AD2/2[AKL]=AD^2/2。又有 [ABC]=BC⋅AD/2[ABC]=BC\cdot AD/2。因此 [ABC]≥2[AKL][ABC]\ge2[AKL] 等价于 BC≥2ADBC\ge2AD。