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第1题

证明集合 {1,2,…,1989}\{1, 2, \ldots, 1989\} 可以表示为 117117 个两两不相交的子集 A1,A2,…,A117A_1, A_2, \ldots, A_{117} 的并集，每个子集恰好含有 1717 个元素，并且每个 AiA_i 中元素的和都相等。
第 1/5 步：求出每个模块的目标和
上一步下一步
通俗地说

把这 19891989 个数想象成必须均分到 117117 个天平托盘上的砝码;在考虑具体哪个数放哪个托盘之前,这个计算就先告诉我们每个托盘该有多重。

∑i=11989i=1989×19902=1989×995,1989×995117=17×995=16915\sum_{i=1}^{1989} i = \frac{1989 \times 1990}{2} = 1989 \times 995, \qquad \frac{1989\times 995}{117} = 17 \times 995 = 16915
详细分析

如果 {1,…,1989}\{1,\ldots,1989\} 能分成 117117 个各含 1717 个数且和相等的模块,那么这个公共的和必须等于总和 1989×19902=1989×995\frac{1989\times1990}{2}=1989\times995 除以 117117,即 17×995=1691517\times995=16915。注意到 995995 恰好是 11 与 19891989 的平均值,于是自然的目标就是:十七个平均值为 995995 的数。