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第1题

证明集合 {1,2,…,1989}\{1, 2, \ldots, 1989\} 可以表示为 117117 个两两不相交的子集 A1,A2,…,A117A_1, A_2, \ldots, A_{117} 的并集，每个子集恰好含有 1717 个元素，并且每个 AiA_i 中元素的和都相等。
第 2/5 步：把每个数与它关于995的镜像配对
上一步下一步
通俗地说

把这些数想象成关于 995995 对称排列在数轴上:在 995995 处把数轴对折,rr 与 1990−r1990-r 就会完全重合,只有折点本身没有搭档。

{1,…,1989}={995}∪⋃r=1994{r, 1990−r}\{1,\ldots,1989\} = \{995\} \cup \bigcup_{r=1}^{994} \{r,\ 1990-r\}
详细分析

除中间的数 995995 外，范围内每个 r∈{1,…,1989}r\in\{1,\ldots,1989\} 都有一个同样在该范围内的搭档 1990−r1990-r，且 r+(1990−r)=1990r+(1990-r)=1990。因此其余 19881988 个数分成 994994 对，每对之和为 19901990，也就是平均数 995995 的两倍。把一整对加入任意集合都会使其总和恰好增加固定的 19901990；这正是之后平衡 117117 个模块的关键。