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第1题

证明集合 {1,2,…,1989}\{1, 2, \ldots, 1989\} 可以表示为 117117 个两两不相交的子集 A1,A2,…,A117A_1, A_2, \ldots, A_{117} 的并集，每个子集恰好含有 1717 个元素，并且每个 AiA_i 中元素的和都相等。
第 4/5 步：为落单的995安排位置
上一步下一步
通俗地说

落单的 995995 只是借用一对现成的平衡数对与自己搭伴,并不会破坏整体的规律。

{995}∪{r0,1990−r0}sums to995+1990=2985\{995\} \cup \{r_0, 1990-r_0\} \quad\text{sums to}\quad 995 + 1990 = 2985
详细分析

从第二步中再取一对尚未使用的 {r0,1990−r0}\{r_0,1990-r_0\},与落单的 995995 组合成第 117117 个模块 {995,r0,1990−r0}\{995,r_0,1990-r_0\};它的和是 995+1990=2985995+1990=2985,与第三步中每个三元组相同。现在全部 117117 个模块都是含 33 个元素、和同为 29852985 的集合,共用掉了 994994 对中的 175175 对以及数 995995。