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第2题

设 ABCABC 为锐角三角形。角 AA 的内角平分线与三角形 ABCABC 的外接圆的另一个交点为 A1A_1;点 B1B_1、C1C_1 类似定义。设 A0A_0 为直线 AA1AA_1 与角 BB、角 CC 的外角平分线的交点;点 B0B_0、C0C_0 类似定义。证明三角形 A0B0C0A_0B_0C_0 的面积恰好是六边形 AC1BA1CB1AC_1BA_1CB_1 面积的两倍,并且不小于三角形 ABCABC 面积的四倍。
第 2/6 步：使用内心-旁心中点引理
上一步下一步
通俗地说

每个弧中点都是内心与对应旁心之间的平衡点。

A1∈IA0,A1I=A1A0A_1\in IA_0,\qquad A_1I=A_1A_0
详细分析

设 II 为内心。通过追角得到 ∠A1BI=∠A1IB=(A+B)/2\angle A_1BI=\angle A_1IB=(A+B)/2,因此 A1B=A1IA_1B=A_1I;由对称性 A1C=A1IA_1C=A_1I。对外角平分线作同样的追角可得 A1A0=A1BA_1A_0=A_1B。由于 I,A1,A0I,A_1,A_0 共线,A1A_1 是 IA0IA_0 的中点。同理,B1B_1、C1C_1 分别是 IB0IB_0、IC0IC_0 的中点。