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第2题

设 ABCABC 为锐角三角形。角 AA 的内角平分线与三角形 ABCABC 的外接圆的另一个交点为 A1A_1;点 B1B_1、C1C_1 类似定义。设 A0A_0 为直线 AA1AA_1 与角 BB、角 CC 的外角平分线的交点;点 B0B_0、C0C_0 类似定义。证明三角形 A0B0C0A_0B_0C_0 的面积恰好是六边形 AC1BA1CB1AC_1BA_1CB_1 面积的两倍,并且不小于三角形 ABCABC 面积的四倍。
第 3/6 步：将对应面积加倍
上一步下一步
通俗地说

把第三个顶点从中点移到端点,高和面积都变成两倍。

[IBA0C]=2[IBA1C],[ICB0A]=2[ICB1A],[IAC0B]=2[IAC1B][IBA_0C]=2[IBA_1C],\quad [ICB_0A]=2[ICB_1A],\quad [IAC_0B]=2[IAC_1B]
详细分析

由于 A1A_1 是 IA0IA_0 的中点,固定顶点 BB、让第三个顶点沿直线 IA0IA_0 移动时,三角形面积与到 II 的距离成正比。因此 [IBA0]=2[IBA1][IBA_0]=2[IBA_1]、[ICA0]=2[ICA1][ICA_0]=2[ICA_1],从而 [IBA0C]=2[IBA1C][IBA_0C]=2[IBA_1C]。另外两组关系由循环对称性同样成立。