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第2题

设 ABCABC 为锐角三角形。角 AA 的内角平分线与三角形 ABCABC 的外接圆的另一个交点为 A1A_1;点 B1B_1、C1C_1 类似定义。设 A0A_0 为直线 AA1AA_1 与角 BB、角 CC 的外角平分线的交点;点 B0B_0、C0C_0 类似定义。证明三角形 A0B0C0A_0B_0C_0 的面积恰好是六边形 AC1BA1CB1AC_1BA_1CB_1 面积的两倍,并且不小于三角形 ABCABC 面积的四倍。
第 5/6 步：反射垂心
上一步下一步
通俗地说

反射把垂心的距离转到外接圆上,而弧中点在弦 BCBC 上方提供最大的高。

[BCH]=[BCH1]≤[BCA1][BCH]=[BCH_1]\le[BCA_1]
详细分析

设 HH 为垂心,H1H_1 为 H 关于 BCBC 的反射点。则 H1H_1 在外接圆上,且反射保持到 BCBC 的距离,所以 [BCH]=[BCH1][BCH]=[BCH_1]。在不含 AA 的弧 BCBC 上,A1A_1 是弧中点并且距弦 BCBC 最远,故 [BCH1]≤[BCA1][BCH_1]\le[BCA_1].