MathLabs

第4题

设凸四边形 ABCDABCD 满足 AB=AD+BCAB=AD+BC。设内部点 PP 到直线 CDCD 的距离为 hh,且 AP=h+ADAP=h+AD、BP=h+BCBP=h+BC。证明 1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}.
第 2/5 步：限制可能的高度
上一步下一步
通俗地说

极值圆是在两个相切圆和一条直线之间能容纳的最大小圆。

ΓP lies inside the curvilinear triangle bounded by ΓA,ΓB,t\Gamma_P\text{ lies inside the curvilinear triangle bounded by }\Gamma_A,\Gamma_B,t
详细分析

令 tt 为位于 C,DC,D 同侧的 ΓA\Gamma_A 与 ΓB\Gamma_B 的公外切线。由于 PP 在 ABCDABCD 内部且 ΓP\Gamma_P 与 CDCD 相切，该圆 ΓP\Gamma_P 被限制在由 ΓA,ΓB\Gamma_A,\Gamma_B 的圆弧和 tt 围成的曲边三角形内。将其向外移动可知，它也与 tt 相切时半径最大。