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第4题

设凸四边形 ABCDABCD 满足 AB=AD+BCAB=AD+BC。设内部点 PP 到直线 CDCD 的距离为 hh,且 AP=h+ADAP=h+AD、BP=h+BCBP=h+BC。证明 1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}.
第 3/5 步：计算极值构型中的切线长度
上一步下一步
通俗地说

两个直角三角形把圆相切转化为乘积公式。

CD2=4AD BC,DE2=4h AD,CE2=4h BCCD^2=4AD\,BC,\quad DE^2=4h\,AD,\quad CE^2=4h\,BC
详细分析

在极值位置,令 D,C,ED,C,E 分别为 tt 与 ΓA,ΓB,ΓP\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_P 的切点。半径垂直于切线,所以极限四边形中的 ADCADC、BCDBCD 是直角三角形,从而 CD2=AB2−(AD−BC)2=4AD BCCD^2=AB^2-(AD-BC)^2=4AD\,BC。两圆半径为 r,sr,s 且同切一条直线时的标准切线长度公式给出 DE2=4h ADDE^2=4h\,AD、CE2=4h BCCE^2=4h\,BC.