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第4题

设凸四边形 ABCDABCD 满足 AB=AD+BCAB=AD+BC。设内部点 PP 到直线 CDCD 的距离为 hh,且 AP=h+ADAP=h+AD、BP=h+BCBP=h+BC。证明 1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}.
第 4/5 步：相加切线段
上一步下一步
通俗地说

三段相邻切线长度相加,于是倒数平方根也相加。

CD=DE+CECD=DE+CE
详细分析

公切线上点的顺序为 D,E,CD,E,C,所以 CD=DE+CECD=DE+CE。对第三步中的等式开平方得 2AD BC=2h AD+2h BC2\sqrt{AD\,BC}=2\sqrt{h\,AD}+2\sqrt{h\,BC}。除以 2h AD BC2\sqrt{h\,AD\,BC},得到极值构型下 1h=1AD+1BC\frac1{\sqrt h}=\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}.