第4题

设凸四边形

ABCD

满足

AB=AD+BC

。设内部点

P

到直线

CD

的距离为

h

,且

AP=h+AD

、

BP=h+BC

。证明

\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}

.

第 5/5 步：从等式回到不等式

上一步下一步

通俗地说

非极值圆更小;高度越小,倒数平方根越大。

h\le h_{\max}\ \Longrightarrow\ \frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}

详细分析

极值构型在固定 $AD,BC$ 时使 $h$ 最大,所以任意可行四边形都有 $h\le h_{\max}$ 。由于 $x\mapsto1/\sqrt{x}$ 在正数上递减,第四步在 $h_{\max}$ 处的等式变为 $\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}$ ,即所求。