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第5题

证明对每个正整数 nn,都存在 nn 个连续的正整数,其中没有一个是素数或素数幂。
第 2/4 步:按偏移量分解每一项
通俗地说

每个构造出的数都把偏移量作为非平凡因子。

r∣Xr,Xr=r(N!N!r+1)r\mid X_r,\qquad X_r=r\left(N!\frac{N!}{r}+1\right)
详细分析

因为 r≤Nr\le N,有 r∣N!r\mid N!,所以 r∣(N!)2r\mid(N!)^2 且 r∣Xrr\mid X_r。具体地,Xr=r(N!N!r+1)X_r=r\left(N!\frac{N!}{r}+1\right),第二个因子是大于 11 的整数。