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第5题

证明对每个正整数 nn,都存在 nn 个连续的正整数,其中没有一个是素数或素数幂。
第 3/4 步：取偏移量的素因子
上一步下一步
通俗地说

加上 11 使选定的素数不可能涵盖整个分解。

pr∣r,pr∣Xr,pr∤Xrrp_r\mid r,\quad p_r\mid X_r,\quad p_r\nmid\frac{X_r}{r}
详细分析

取一个整除 rr 的素数 prp_r。由于 N!/rN!/r 为整数,积 N!(N!/r)N!(N!/r) 被 rr 整除,所以 N!(N!/r)+1N!(N!/r)+1 模 rr 同余于 11,特别不被 prp_r 整除。因此 XrX_r 被 prp_r 整除,但除以 prp_r 的商仍大于 11.