令 xxx、yyy 为满足 2x≡−1(modp)2^x\equiv-1\pmod p2x≡−1(modp) 和 2y≡1(modp)2^y\equiv1\pmod p2y≡1(modp) 的最小正整数。写 n=ys+rn=ys+rn=ys+r，0≤r<y0\le r<y0≤r<y。由 2n≡−12^n\equiv-12n≡−1 和 2y≡12^y\equiv12y≡1 得 2r≡−12^r\equiv-12r≡−1，所以 r>0r>0r>0 且 x≤r<yx\le r<yx≤r<y。再写 n=hx+kn=hx+kn=hx+k，0≤k<x0\le k<x0≤k<x，则 −1≡(−1)h2k(modp)-1\equiv(-1)^h2^k\pmod p−1≡(−1)h2k(modp)。若 hhh 偶，2k≡−12^k\equiv-12k≡−1，k>0k>0k>0 违背 xxx 的最小性；若 hhh 奇，2k≡12^k\equiv12k≡1，0<k<x<y0<k<x<y0<k<x<y 违背 yyy 的最小性。因此 k=0k=0k=0，x∣nx\mid nx∣n。又 x≤r<y<px\le r<y<px≤r<y<p，且 ppp 是 nnn 的最小质因子，故 x=1x=1x=1，从而 2≡−1(modp)2\equiv-1\pmod p2≡−1(modp)、p=3p=3p=3。