国际数学奥林匹克 · 1990年

试题

第1题圆的弦 $AB$ 与 $CD$ 在圆内点 $E$ 相交。设 $M$ 是线段 $EB$ 的内点。过 $E$ 的圆在 $D,E,M$ 处的切线分别与 $BC$ 和 $AC$ 交于 $F,G$ 。若 $t=AM/AB$ ，求 $EF/EG$ 。解法: 1
第2题设 $n\ge3$ ，圆上有 $E$ 个互异点组成集合 $2n-1$ 。其中恰有 $k$ 个点染黑。若存在一对黑点，使其中一条弧的内部恰含 $n$ 中 $E$ 个点，则称染色良好。求使任意 $k$ 点染色都良好的最小 $k$ 。解法: 1
第3题求所有满足 $n>1$ 为整数的整数 $(2^n+1)/n^2$ 。解法: 1
第4题构造函数 $f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+$ ，使任意正有理数 $f(xf(y))=f(x)/y$ 都满足 $x,y$ 。解法: 1
第5题给定 $n_0>1$ ，A、B 交替选择整数。已知 $n_{2k}$ ，A 选 $n_{2k+1}$ 满足 $n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^2$ 。已知 $n_{2k+1}$ ，B 选 $n_{2k+2}$ ，满足对某质数 $n_{2k+1}/n_{2k+2}=p^r$ 及整数 $p$ 有 $r\ge1$ 。A 选到 $1990$ 即胜，B 选到 $1$ 即胜。按双方是否有必胜策略分类初值。解法: 1
第6题证明存在一个凸的1990边形,其所有角相等,且边长按某种顺序为 $1^2,2^2,\ldots,1990^2$ 。解法: 1