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国际数学奥林匹克
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1990年
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第4题
第4题
构造函数
f
:
Q
+
→
Q
+
f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+
f
:
Q
+
→
Q
+
，使任意正有理数
f
(
x
f
(
y
)
)
=
f
(
x
)
/
y
f(xf(y))=f(x)/y
f
(
x
f
(
y
))
=
f
(
x
)
/
y
都满足
x
,
y
x,y
x
,
y
。
第 1/5 步：确定 1 的像
上一步
下一步
f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f
(
1
)
=
1
详细分析
令 x=y=1 得
f
(
f
(
1
)
)
=
f
(
1
)
f(f(1))=f(1)
f
(
f
(
1
))
=
f
(
1
)
。在原方程中取 x=1、y=f(1)，结合该等式即得
f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f
(
1
)
=
1
。
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