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第5题

给定 n0>1n_0>1,A、B 交替选择整数。已知 n2kn_{2k},A 选 n2k+1n_{2k+1} 满足 n2k≤n2k+1≤n2k2n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^2。已知 n2k+1n_{2k+1},B 选 n2k+2n_{2k+2},满足对某质数 n2k+1/n2k+2=prn_{2k+1}/n_{2k+2}=p^r 及整数 pp 有 r≥1r\ge1。A 选到 19901990 即胜,B 选到 11 即胜。按双方是否有必胜策略分类初值。
第 3/6 步:处理大于 1990 的数
n=1991=11⋅181↦1991,11r⋅181+1≤n≤11r+1⋅181↦11r+1⋅181n=1991=11\cdot181\mapsto1991,\qquad 11^r\cdot181+1\le n\le11^{r+1}\cdot181\mapsto11^{r+1}\cdot181
详细分析

当 n=1991=11⋅181n=1991=11\cdot181 时,A 重复选择 1991。一般地,若 11r⋅181+1≤n≤11r+1⋅18111^r\cdot181+1\le n\le11^{r+1}\cdot181,就选 11r+1⋅18111^{r+1}\cdot181。B 除以质数幂后,结果严格小于当前 nn 但仍至少为 1111;反复进行即可进入前面的必胜区间。