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国际数学奥林匹克 · 1991年

试题

  1. 第1题给定三角形ABC,设I为内心。角A、B、C的内角平分线分别与对边交于A'、B'、C'。证明 1/4<AI⋅BI⋅CI/(AA′⋅BB′⋅CC′)≤8/271/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27。 解法: 1
  2. 第2题设n>6为整数,a1,a2,…,aka_1,a_2,\ldots,a_k为小于n且与n互质的全部正整数并按递增排列。若 a2−a1=a3−a2=⋯=ak−ak−1>0a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0,证明n必为素数或2的幂。 解法: 1
  3. 第3题令 S={1,2,3,…,280}S=\{1,2,3,\ldots,280\}。求最小整数n,使得S的每个n元子集都包含五个两两互质的数。 解法: 1
  4. 第4题设G是有k条边的连通图。证明可以把边标为 1,2,…,k1,2,\ldots,k,使得每个关联两条或更多边的顶点处,这些边标签的最大公因数为1。 解法: 1
  5. 第5题设ABC为三角形,X为其内部一点。证明角XAB、XBC、XCA中至少有一个不超过30度。解法: 1
  6. 第6题给定任意实数a>1,构造有界无限序列x0,x1,x2,…x_0,x_1,x_2,\ldots,使任意不同的n,m满足 ∣xn−xm∣ ∣n−m∣a≥1|x_n-x_m|\,|n-m|^a\ge1。 解法: 1