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第1题

给定三角形ABC,设I为内心。角A、B、C的内角平分线分别与对边交于A'、B'、C'。证明 1/4<AI⋅BI⋅CI/(AA′⋅BB′⋅CC′)≤8/271/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27。
第 1/4 步：用面积改写三个比
上一步下一步
p=AB+BC+CA,AI/AA′=(CA+AB)/pp=AB+BC+CA,\qquad AI/AA'=(CA+AB)/p
详细分析

令p为周长,r为内切圆半径。三角形ABI、CAI的面积分别为AB·r/2、CA·r/2,它们之和除以三角形ABC面积等于AI/AA'。所以AI/AA'=(CA+AB)/p,循环地另两个比为(AB+BC)/p和(BC+CA)/p。