MathLabs
语言
Tiếng Việt
English
日本語
简体中文
← 返回
竞赛
›
国际数学奥林匹克
›
1991年
›
第1题
第1题
给定三角形ABC,设I为内心。角A、B、C的内角平分线分别与对边交于A'、B'、C'。证明
1
/
4
<
A
I
⋅
B
I
⋅
C
I
/
(
A
A
′
⋅
B
B
′
⋅
C
C
′
)
≤
8
/
27
1/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27
1/4
<
A
I
⋅
B
I
⋅
C
I
/
(
A
A
′
⋅
B
B
′
⋅
C
C
′
)
≤
8/27
。
第 2/4 步：用均值不等式证明上界
上一步
下一步
P
=
(
C
A
+
A
B
)
(
A
B
+
B
C
)
(
B
C
+
C
A
)
p
3
≤
(
2
3
)
3
=
8
27
P=\frac{(CA+AB)(AB+BC)(BC+CA)}{p^3}\le\left(\frac23\right)^3=\frac8{27}
P
=
p
3
(
C
A
+
A
B
)
(
A
B
+
B
C
)
(
B
C
+
C
A
)
≤
(
3
2
)
3
=
27
8
详细分析
分子中三个因子的和为2p,算术平均为2p/3。由均值不等式其积不超过(2p/3)^3。除以p^3便得上界。
首页
知识库
重大问题
测验
数学家
竞赛