第1题

给定三角形ABC,设I为内心。角A、B、C的内角平分线分别与对边交于A'、B'、C'。证明

1/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27

。

第 4/4 步：展开正因子得到严格下界

P=\left(\frac12+\frac{x}{p}\right)\left(\frac12+\frac{y}{p}\right)\left(\frac12+\frac{z}{p}\right)>\frac18+\frac{x+y+z}{4p}=\frac14

详细分析

代入得到所示乘积。展开后常数项为1/8,一次项之和为(x+y+z)/(4p),其余各项全为正。由于p=2(x+y+z),前两部分已等于1/4且不等式严格成立。因此1/4<P≤8/27。