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第2题

设n>6为整数,a1,a2,…,aka_1,a_2,\ldots,a_k为小于n且与n互质的全部正整数并按递增排列。若 a2−a1=a3−a2=⋯=ak−ak−1>0a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0,证明n必为素数或2的幂。
第 5/5 步：模4余2的情形不可能
上一步下一步
n=4m+2>6:2m+1∣n,gcd⁡(2m+3,n)=gcd⁡(2m+5,n)=1n=4m+2>6:\quad 2m+1\mid n,\quad \gcd(2m+3,n)=\gcd(2m+5,n)=1
详细分析

当n=4m+2时,2m+1整除n。另一方面,gcd(2m+3,n)为奇数且整除4,gcd(2m+5,n)为奇数且整除8,故二者均为1。因n>6它们都小于n。它们出现在序列中且相差2,所以d整除2;d=1会包含2m+1,d=2也会包含这个奇数。两者都与2m+1不互质矛盾。