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第5题

设ABC为三角形,X为其内部一点。证明角XAB、XBC、XCA中至少有一个不超过30度。
第 1/4 步：写出垂距恒等式
上一步下一步
PX=BXsin⁡β=CXsin⁡(C−γ),QX=CXsin⁡γ=AXsin⁡(A−α),RX=AXsin⁡α=BXsin⁡(B−β)PX=BX\sin\beta=CX\sin(C-\gamma),\quad QX=CX\sin\gamma=AX\sin(A-\alpha),\quad RX=AX\sin\alpha=BX\sin(B-\beta)
详细分析

令alpha=XAB、beta=XBC、gamma=XCA,并令P、Q、R为X到BC、CA、AB的垂足。由相应直角三角形得到所示三个等式,其中A、B、C为三角形ABC的角。