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第5题

设ABC为三角形,X为其内部一点。证明角XAB、XBC、XCA中至少有一个不超过30度。
第 3/4 步：假设三个角都大于30度
上一步下一步
α,β,γ>30∘ ⟹ sin⁡(A−30∘)sin⁡(B−30∘)sin⁡(C−30∘)>18\alpha,\beta,\gamma>30^\circ\ \Longrightarrow\ \sin(A-30^\circ)\sin(B-30^\circ)\sin(C-30^\circ)>\frac18
详细分析

若alpha、beta、gamma都大于30度,各f的严格递减性给出f_A(30)f_B(30)f_C(30)>1。乘以sin(30)^3即得所示严格不等式。