第5题

设ABC为三角形,X为其内部一点。证明角XAB、XBC、XCA中至少有一个不超过30度。

第 4/4 步：三角不等式与假设矛盾

x=A-30^\circ,\ y=B-30^\circ,\ z=C-30^\circ,\quad x+y+z=90^\circ,\quad \sin x\sin y\sin z\le\frac18

详细分析

令x=A−30度、y=B−30度、z=C−30度,则和为90度。因sin x sin y≤(1−cos(x+y))/2=(1−sin z)/2,故乘积≤(1−sin z)sin z/2≤1/8。这与上面的严格不等式矛盾,所以alpha、beta、gamma至少有一个不超过30度。