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第6题

给定任意实数a>1,构造有界无限序列x0,x1,x2,…x_0,x_1,x_2,\ldots,使任意不同的n,m满足 ∣xn−xm∣ ∣n−m∣a≥1|x_n-x_m|\,|n-m|^a\ge1。
第 2/4 步：由二进制位定义序列
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n=∑i≥0bi2i,xn=1c∑bi=1tin=\sum_{i\ge0}b_i2^i,\qquad x_n=\frac1c\sum_{b_i=1}t^i
详细分析

将每个非负整数n写成二进制,位b_i∈{0,1};定义x_n为所有b_i=1的位置的t^i加权和除以c。各项非负且x_n不超过(所有t^i之和)/c=1/(1−2t),故序列有界。