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第6题

给定任意实数a>1,构造有界无限序列x0,x1,x2,…x_0,x_1,x_2,\ldots,使任意不同的n,m满足 ∣xn−xm∣ ∣n−m∣a≥1|x_n-x_m|\,|n-m|^a\ge1。
第 4/4 步：估计尾项并完成证明
上一步下一步
c∣xn−xm∣>ctk,∣xn−xm∣ ∣n−m∣a>ctk2ak=1c|x_n-x_m|>ct^k,\qquad |x_n-x_m|\,|n-m|^a>ct^k2^{ak}=1
详细分析

第一个不同位对c乘以差的贡献绝对值为t^k;其余尾项下界为−t^(k+1)/(1−t)。所以c|x_n−x_m|>t^k(1−t/(1−t))=ct^k。再乘|n−m|^a≥2^(ak),得到乘积大于t^k2^(ak)=1,即得结论。