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第4题

对平面上三点 A,B,CA,B,C，令 m(ABC)m(ABC) 为三角形 ABCABC 三条高中的最小长度；若三点共线则令 m(ABC)=0m(ABC)=0。给定 A,B,CA,B,C，证明平面上任意点 XX 都满足 m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。
第 2/5 步：处理 X 在 ABC 内
上一步下一步
通俗地说

三个小三角形的面积恰好铺满 ABC。

m(ABX)+m(BCX)+m(CAX)≥2([ABX]+[BCX]+[CAX])am(ABX)+m(BCX)+m(CAX)\ge\frac{2([ABX]+[BCX]+[CAX])}{a}
详细分析

若 X 在 ABC 内部或边界上，四点间任意距离都不超过 a。因此 ABX、BCX、CAX 的最长边不超过 a；每个最小高至少为其面积两倍除以 a。