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国际数学奥林匹克
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1993年
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第4题
第4题
对平面上三点
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，令
m
(
A
B
C
)
m(ABC)
m
(
A
B
C
)
为三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
三条高中的最小长度；若三点共线则令
m
(
A
B
C
)
=
0
m(ABC)=0
m
(
A
B
C
)
=
0
。给定
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，证明平面上任意点
X
X
X
都满足
m
(
A
B
C
)
≤
m
(
A
B
X
)
+
m
(
A
X
C
)
+
m
(
X
B
C
)
m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)
m
(
A
B
C
)
≤
m
(
A
B
X
)
+
m
(
A
X
C
)
+
m
(
X
B
C
)
。
第 3/5 步：相加面积
上一步
下一步
通俗地说
面积可加性把三个局部估计转化为整体估计。
[
A
B
X
]
+
[
B
C
X
]
+
[
C
A
X
]
=
[
A
B
C
]
[ABX]+[BCX]+[CAX]=[ABC]
[
A
B
X
]
+
[
B
C
X
]
+
[
C
A
X
]
=
[
A
B
C
]
详细分析
三个三角形分割了 ABC，故面积和为 [ABC]。前一步下界正好是 m(ABC)，于是内部或边界情形得证。
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