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第4题

对平面上三点 A,B,CA,B,C，令 m(ABC)m(ABC) 为三角形 ABCABC 三条高中的最小长度；若三点共线则令 m(ABC)=0m(ABC)=0。给定 A,B,CA,B,C，证明平面上任意点 XX 都满足 m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。
第 4/5 步：归约外部点
上一步下一步
通俗地说

把外点移回对边不会减小相关的最小高。

m(ABX)+m(ACX)≥m(ABD)+m(ACD)m(ABX)+m(ACX)\ge m(ABD)+m(ACD)
详细分析

若 X 在外部，取 A 为 A、B、C 中距 X 最远者。若四边形 ABCX 为凹，一顶点（如 B）在三角形 ACX 内，比较相应射线得 m(ACX)≥m(ABC)。若为凸，令 D=AX 与 BC 的交点。按最小高所在顶点分类可得 m(ABX)≥m(ABD)，同理 m(ACX)≥m(ACD)。