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第5题

令 N={1,2,3,…}\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}。判断是否存在严格递增函数 f:N↦Nf:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N} 满足 (i) f(1)=2f(1)=2；(ii) f(f(n))=f(n)+nf(f(n))=f(n)+n，(n∈N)(n\in\mathbb{N})。
第 1/5 步：定义候选函数
上一步下一步
通俗地说

黄金比是其复合能够再现加法的斜率。

φ=1+52,f(n)=⌊φn+φ−1⌋\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad f(n)=\lfloor\varphi n+\varphi-1\rfloor
详细分析

令 phi 为黄金比，并用上面的取整公式定义 f。由于 phi 大于 1，n 增加 1 时内部表达式增加超过 1，所以 f 严格递增。