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第1题

设 a1,…,ama_1,\ldots,a_m 是 {1,…,n}\{1,\ldots,n\} 中互异的元素，并满足：当 i≤ji\le j 且 ai+aj≤na_i+a_j\le n 时，该和也是某个 aka_k。证明 a1+⋯+amm≥n+12\frac{a_1+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}。
第 3/3 步：求和各对
上一步下一步
通俗地说

把各个配对不等式相加，得到所有元素的总和。

2∑i=1mai≥m(n+1)2\sum_{i=1}^m a_i\ge m(n+1)
详细分析

对 k=1,…,⌊(m+1)/2⌋k=1,\ldots,\lfloor(m+1)/2\rfloor 求和 ak+am−k+1≥n+1a_k+a_{m-k+1}\ge n+1；当 mm 为奇数时，中间的不等式只计一次。等价地，所有配对相加给出 2∑i=1mai≥m(n+1)2\sum_{i=1}^m a_i\ge m(n+1)。除以 2m2m 即得 a1+⋯+amm≥n+12\frac{a_1+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}。