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第2题

在等腰三角形 ABCABC 中 AB=ACAB=AC，令 MM 为 BCBC 的中点，并取满足 O∈AMO\in AM 且 OB⊥ABOB\perp AB 的点。对 Q∈BCQ\in BC，设 E∈ABE\in AB、F∈ACF\in AC 是与 QQ 共线的两个不同点。证明 OQ⊥EFOQ\perp EF 当且仅当 QE=QFQE=QF。
第 1/4 步：利用垂直关系得到圆内接四边形
上一步下一步
通俗地说

两个直角说明相应的四点共圆。

EBOQ and OQCF are cyclicEBOQ\text{ and }OQCF\text{ are cyclic}
详细分析

假设 OQ⊥EFOQ\perp EF。由于 EB⊂ABEB\subset AB 且 OB⊥ABOB\perp AB，有 ∠EBO=90∘\angle EBO=90^\circ；又因 EQ⊂EFEQ\subset EF，得 ∠EQO=90∘\angle EQO=90^\circ。故 EBOQEBOQ 共圆。同理由对称性 OC⊥ACOC\perp AC，所以 ∠OCF=∠OQF=90∘\angle OCF=\angle OQF=90^\circ，从而 OQCFOQCF 共圆。