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第2题

在等腰三角形 ABCABC 中 AB=ACAB=AC，令 MM 为 BCBC 的中点，并取满足 O∈AMO\in AM 且 OB⊥ABOB\perp AB 的点。对 Q∈BCQ\in BC，设 E∈ABE\in AB、F∈ACF\in AC 是与 QQ 共线的两个不同点。证明 OQ⊥EFOQ\perp EF 当且仅当 QE=QFQE=QF。
第 2/4 步：推出距离相等
上一步下一步
通俗地说

由相等角可推出两个直角三角形全等。

∠OEQ=∠OBQ=∠OCQ=∠OFQ\angle OEQ=\angle OBQ=\angle OCQ=\angle OFQ
详细分析

由第一个内接四边形得 ∠OEQ=∠OBQ\angle OEQ=\angle OBQ，由第二个得 ∠OFQ=∠OCQ\angle OFQ=\angle OCQ。由于 AB=ACAB=AC 且 OO 在对称轴 AMAM 上，∠OBQ=∠OCQ\angle OBQ=\angle OCQ。故 ∠OEQ=∠OFQ\angle OEQ=\angle OFQ。三角形 OEQOEQ 与 OFQOFQ 都在 QQ 处直角，且有相应的公共斜边数据，故全等，从而 QE=QFQE=QF。