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第2题

在等腰三角形 ABCABC 中 AB=ACAB=AC，令 MM 为 BCBC 的中点，并取满足 O∈AMO\in AM 且 OB⊥ABOB\perp AB 的点。对 Q∈BCQ\in BC，设 E∈ABE\in AB、F∈ACF\in AC 是与 QQ 共线的两个不同点。证明 OQ⊥EFOQ\perp EF 当且仅当 QE=QFQE=QF。
第 4/4 步：用反证法收尾
上一步下一步
通俗地说

若过 Q 的两条直线不同，就会迫使 AB 与 AC 平行。

△QEE′≅△QFF′⇒AB∥AC\triangle QEE'\cong\triangle QFF'\Rightarrow AB\parallel AC
详细分析

由于 E,Q,FE,Q,F 以及 E′,Q,F′E',Q,F' 分别共线，且 QE=QFQE=QF、QE′=QF′QE'=QF'，三角形 QEE′QEE' 与 QFF′QFF' 按边角边全等（QQ 处夹角相等）。因此 ∠QEE′=∠QFF′\angle QEE'=\angle QFF'。但 EE′⊂ABEE'\subset AB、FF′⊂ACFF'\subset AC，而 EQEQ 与 FQFQ 在同一直线上方向相反；这些相等角会推出 AB∥ACAB\parallel AC，与非退化三角形矛盾。故原 EFEF 必须垂直于 OQOQ。