第3题

对于正整数

k

，令

f(k)

为

\{k+1,\ldots,2k\}

中二进制表示恰有三个

1

的整数个数。证明每个正整数

m

都能取为某个

f(k)

，并求出恰有一个

k

满足

f(k)=m

的所有

m

。

第 2/5 步：证明每个正值都会出现

通俗地说

证明每个正值都会出现

2^r+2^s+1\quad(r>s>0)

详细分析

当 $r>s>0$ 时， $2^r+2^s+1$ 恰有三个 $1$ ，所以有无穷多个 $k=(2^r+2^s)/2$ 使 $2k+1$ 具备该性质。故 $f(k)$ 无界。它从 $0$ 开始且每步只增加 $0$ 或 $1$ ，因此会取遍所有正整数。