第3题

对于正整数

k

，令

f(k)

为

\{k+1,\ldots,2k\}

中二进制表示恰有三个

1

的整数个数。证明每个正整数

m

都能取为某个

f(k)

，并求出恰有一个

k

满足

f(k)=m

的所有

m

。

第 4/5 步：找出都含两个一的相邻二进制数

通俗地说

找出都含两个一的相邻整数。

k-1=2^n+1,\quad k=2^n+2\quad(n\ge2)

详细分析

若一个正整数及其后继都恰有两个 $1$ ，较小者必须由一个高位 $1$ 和末位 $1$ 构成，即 $k-1=2^n+1$ 。要使 $k$ 也有两个 $1$ ，需 $n\ge2$ ，故 $k=2^n+2$ 。