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第4题

求所有正整数有序对 (m,n)(m,n)，使得 n3+1mn−1\frac{n^3+1}{mn-1} 为整数。
第 4/4 步：处理第二种情形与小值
上一步下一步
通俗地说

第二种情形立即过大，而 n=1,2,3n=1,2,3 可直接检查。

m+k=2n⟹n+2=m(2n−m)m+k=2n\Longrightarrow n+2=m(2n-m)
详细分析

此时 n+2=m(2n−m)n+2=m(2n-m)。设 m≥k=2n−mm\ge k=2n-m，则 k≥2k\ge2（k=1k=1 给出不成立的 m=2n−1m=2n-1），故右边至少为 2m≥2n>n+22m\ge2n>n+2。直接检查 n=1,2,3n=1,2,3 的因子，得到全部解 (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,5),(3,1),(3,5),(5,2),(5,3)(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,5),(3,1),(3,5),(5,2),(5,3)。