第5题

令

S

为所有大于

-1

的实数集合。求所有函数

f:S\to S

，使任意

x,y\in S

都有

f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)

，且

\frac{f(x)}{x}

在区间

-1<x<0

和

0<x

上分别严格递增。

第 2/4 步：使用严格递增性

通俗地说

同一区间内两个不同固定点会使严格递增的比值取相同值。

\frac{f(a)}a=\frac{f(b)}b=1

详细分析

若 $a\in(-1,0)$ ，则 $a$ 和 $b$ 是该区间内两个不同的点，而 $\frac{f(a)}a=\frac{f(b)}b=1$ ，这与严格递增矛盾。 $a>0$ 时同样矛盾。因此唯一可能的不动点是 $a=0$ 。