MathLabs

第5题

令 SS 为所有大于 −1-1 的实数集合。求所有函数 f:S→Sf:S\to S，使任意 x,y∈Sx,y\in S 都有 f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)，且 f(x)x\frac{f(x)}{x} 在区间 −1<x<0-1<x<0 和 0<x0<x 上分别严格递增。
第 3/4 步：在对角线上应用方程
上一步下一步
通俗地说

这种形式的每个输入都是固定点，所以必须等于唯一固定点 00。

f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x)f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x)
详细分析

在函数方程中令 x=yx=y，得到 f(k)=kf(k)=k 满足 k=x+f(x)+xf(x)k=x+f(x)+xf(x)。因 00 是唯一固定点，任意 k=0k=0 都有 x∈Sx\in S，故 x+f(x)+xf(x)=0x+f(x)+xf(x)=0，从而 f(x)=−xx+1f(x)=-\frac{x}{x+1}。