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第5题

令 SS 为所有大于 −1-1 的实数集合。求所有函数 f:S→Sf:S\to S，使任意 x,y∈Sx,y\in S 都有 f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)，且 f(x)x\frac{f(x)}{x} 在区间 −1<x<0-1<x<0 和 0<x0<x 上分别严格递增。
第 4/4 步：验证所得函数
上一步下一步
通俗地说

这个分式线性函数保持定义域，并具有所需的比值单调性。

f(x)=−xx+1f(x)=-\frac{x}{x+1}
详细分析

当 x>−1x>-1 时，f(x)+1=1x+1>0f(x)+1=\frac1{x+1}>0，所以 f(x)∈Sf(x)\in S。并且 f(x)x=−1x+1\frac{f(x)}x=-\frac1{x+1} 的导数在两个区间上均为 1(x+1)2>0\frac1{(x+1)^2}>0。代入方程可验证成立，故这是唯一解。