第6题

证明存在一个正整数集合

A

，具有如下性质：对任意无限素数集

S

，都存在正整数

m\in A

和

n\notin A

，且二者分别都是

S

中某些

k

个互异元素的乘积，其中

k\ge2

。

第 1/4 步：定义集合

通俗地说

用最小素因子与因子个数相等来决定是否属于集合。

A=\{q_1q_2\cdots q_{q_1}:q_1<q_2<\cdots<q_{q_1}\text{ are primes}\}

详细分析

定义 $A=\{q_1q_2\cdots q_{q_1}:q_1<q_2<\cdots<q_{q_1}\text{ are primes}\}$ 。因此一个无平方因子整数属于 $A$ 当且仅当其素因子个数等于最小素因子。这样的个数总满足 $q_1\ge2$ 。