第6题

证明存在一个正整数集合

A

，具有如下性质：对任意无限素数集

S

，都存在正整数

m\in A

和

n\notin A

，且二者分别都是

S

中某些

k

个互异元素的乘积，其中

k\ge2

。

第 4/4 步：构造不属于 A 的元素

通俗地说

把块向后移动会改变最小素因子，但不改变块长度。

n=s_2s_3\cdots s_{k+1}\notin A

详细分析

取 $n=s_2s_3\cdots s_{k+1}$ 。它是 $k\ge2$ 中 $S$ 个互异元素的乘积，但最小素因子为 $s_2>s_1=k$ ，因子个数仍为 $k$ 。故 $n\notin A$ ，所需性质得证。