国际数学奥林匹克 · 1995年

试题

第1题设 $A,B,C,D$ 按此顺序为一条直线上的四个不同点。直径为 $AC$ 和 $BD$ 的圆交于 $X$ 和 $Y$ 。直线 $XY$ 与 $BC$ 交于 $Z$ 。取 $XY$ 上异于 $Z$ 的点 $P$ 。直线 $CP$ 与直径为 $AC$ 的圆再次交于 $C$ 和 $M$ ，直线 $BP$ 与直径为 $BD$ 的圆再次交于 $B$ 和 $N$ 。证明 $AM$ 、 $DN$ 和 $XY$ 共点。解法: 1
第2题设正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$ 。证明 $\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32$ 。解法: 1
第3题求所有整数 $n>3$ ，使得平面上存在 $n$ 个点 $A_1,\ldots,A_n$ ，任意三点不共线，以及实数 $r_1,\ldots,r_n$ ，使任意互异的 $i,j,k$ 所对应三角形 $A_iA_jA_k$ 的面积等于 $r_i+r_j+r_k$ 。解法: 1
第4题求 $x_0$ 的最大值，使存在正实数列 $x_0,x_1,\ldots,x_{1995}$ 且 $x_0=x_{1995}$ ，并且对 $i=1,\ldots,1995$ 有 $x_{i-1}+\frac2{x_{i-1}}=2x_i+\frac1{x_i}$ 。解法: 1
第5题设凸六边形 $ABCDEF$ 满足 $AB=BC=CD$ 、 $DE=EF=FA$ ，且 $\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$ 。若 $G$ 和 $H$ 在六边形内部且 $\angle AGB=\angle DHE=120^\circ$ ，证明 $AG+GB+GH+DH+HE\ge CF$ 。解法: 1
第6题设 $p$ 为奇素数。集合 $\{1,2,\ldots,2p\}$ 的 $p$ 元子集 $A$ 中，元素之和被 $p$ 整除的有多少个？解法: 1