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第2题

设正实数 a,b,ca,b,c 满足 abc=1abc=1。证明 1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32。
第 2/3 步：应用柯西–施瓦茨
上一步下一步
通俗地说

恩格尔形式的柯西–施瓦茨把三个分母合成 2(x+y+z)2(x+y+z)。

E≥x+y+z2E\ge\frac{x+y+z}{2}
详细分析

由柯西–施瓦茨，(y+z+z+x+x+y)E≥(x+y+z)2(y+z+z+x+x+y)E\ge(x+y+z)^2。括号等于 2(x+y+z)2(x+y+z)，所以 E≥x+y+z2E\ge\frac{x+y+z}{2}。