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第2题

设正实数 a,b,ca,b,c 满足 abc=1abc=1。证明 1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32。
第 3/3 步：用算术–几何平均完成
上一步下一步
通俗地说

乘积条件给出最后的数值下界。

x+y+z≥3(xyz)1/3=3x+y+z\ge3(xyz)^{1/3}=3
详细分析

由算术–几何平均，x+y+z≥3(xyz)1/3=3x+y+z\ge3(xyz)^{1/3}=3。结合 E≥x+y+z2E\ge\frac{x+y+z}{2} 得 E≥32E\ge\frac32，即得所证不等式。