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第3题

求所有整数 n>3n>3，使得平面上存在 nn 个点 A1,…,AnA_1,\ldots,A_n，任意三点不共线，以及实数 r1,…,rnr_1,\ldots,r_n，使任意互异的 i,j,ki,j,k 所对应三角形 AiAjAkA_iA_jA_k 的面积等于 ri+rj+rkr_i+r_j+r_k。
第 2/4 步：相等权重产生三个几何约束
上一步下一步
通俗地说

同一底边上的相等面积迫使高相等。

r4=r5⟹A4A5∥AiAj or mid⁡(A4A5)∈AiAjr_4=r_5\Longrightarrow A_4A_5\parallel A_iA_j\text{ or }\operatorname{mid}(A_4A_5)\in A_iA_j
详细分析

若 r4=r5r_4=r_5，则对三点 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 中任意取一对点，三角形 AiAjA4A_iA_jA_4 和 AiAjA5A_iA_jA_5 面积相等。因此要么 A4A5∥AiAjA_4A_5\parallel A_iA_j（两点在底边同侧），要么 A4A5A_4A_5 的中点在 AiAjA_iA_j 上（两点在异侧）。三条底边中必有两条属于同一类型，这与 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 不共线矛盾。