第4题

求

x_0

的最大值，使存在正实数列

x_0,x_1,\ldots,x_{1995}

且

x_0=x_{1995}

，并且对

i=1,\ldots,1995

有

x_{i-1}+\frac2{x_{i-1}}=2x_i+\frac1{x_i}

。

第 4/4 步：达到上界

通俗地说

取半 1994 次后取一次倒数即可回到起点。

H^{1994}(2^{997})=2^{-997},\quad I(2^{-997})=2^{997}

详细分析

从 $x_0=2^{997}$ 出发，先应用 $H$ $1994$ 次，再应用一次 $I$ 。于是 $H^{1994}(2^{997})=2^{-997}$ ，而 $I(2^{-997})=2^{997}$ ，序列闭合并达到上界。最大值为 $2^{997}$ 。