MathLabs

第5题

设凸六边形 ABCDEFABCDEF 满足 AB=BC=CDAB=BC=CD、DE=EF=FADE=EF=FA，且 ∠BCD=∠EFA=60∘\angle BCD=\angle EFA=60^\circ。若 GG 和 HH 在六边形内部且 ∠AGB=∠DHE=120∘\angle AGB=\angle DHE=120^\circ，证明 AG+GB+GH+DH+HE≥CFAG+GB+GH+DH+HE\ge CF。
第 3/4 步：应用托勒密不等式
上一步下一步
通俗地说

120 度条件使折线路径不短于反射对角线。

C′G≤AG+GB,HF′≤DH+HEC'G\le AG+GB,\quad HF'\le DH+HE
详细分析

对等边三角形 C′ABC'AB 与点 GG，以及 F′DEF'DE 与点 HH 应用托勒密不等式。由 ∠AGB=∠DHE=120∘\angle AGB=\angle DHE=120^\circ 得 C′G≤AG+GBC'G\le AG+GB 且 HF′≤DH+HEHF'\le DH+HE。